Mathématiques,fonctions Enpoursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisationde Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centresd’intérêts. Polynésie.
Bac St2S 2013.
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Unmédicament est administré en intraveineuse. Un laboratoire étudie leprocessus d’absorption de ce médicament par l’organisme pendant les 12heures qui suivent l’injection.
La quantité de produit présent dans le sang est exprimée en cm3.Le temps t est exprimé en heures. La quantité de produit présent dansle sang, en fonction du temps t , est donnée par f (t ) = 4×0,85toù t désigne un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ;12 ].
Partie A.
1. Calculer laquantité de produit présent dans le sang à l’instant t = 0 .
f(0) = 4 x0,850 = 4 cm3.
2. On admet que lafonction f a les mêmes variations sur l’intervalle [0 ; 12] que lafonction g définie sur l’intervalle [0 ; 12] par g (t )= 0,85t. Établir le tableau des variations de f sur l’intervalle [0 ; 12].
Si 0 < a <1, la fonction h(x) = ax est strictementdécroissante sur R. La fonction f(t )=4 x 0,85test strictement décroissante sur [0 ; 12 ].
3. Résoudrel’équation f (t ) = 1.On donnera la valeur exacte de la solution puisune valeur approchée au dixième.
1 = 4 x0,85t ; ln(1) =ln(4)+ t ln(0,85) ; 0 = ln(4)+t ln(0,85) ; t = - ln(4) / ln(0,85)~8,5 heures.
Partie B.
On a représenté ci-dessous la courbe Cf représentative dela fonction f.
1. Déterminergraphiquement la quantité de produit présent dans le sang au bout de 7heures.
2. Déterminergraphiquement au bout de combien de temps la quantité de produitprésent dans le sang aura diminué de 25%.
3. Le laboratoireindique que le médicament n’est plus efficace lorsque la quantité deproduit présent
dans le sang est inférieure à 1 cm3. Déterminergraphiquement la durée d’efficacité de ce médicament.
Unlaboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un vaccin. Sacapacité de production, sur une semaine, lui permet de réaliser entre 0et 18 litres de ce produit. On note B(x) le bénéfice hebdomadaire (eneuros) réalisé par le laboratoire pour une production d’un volume x devaccin exprimé en litres. On appelle B la fonction définie pour tout xde l’intervalle [0 ; 18] qui à x associe B(x). La courbe représentativede la fonction B est donnée.
Partie A : Lecturegraphique
1. Déterminer àl’aide du graphique le(s) volume(s) hebdomadaire(s) nécessaire( s) pourque le bénéfice hebdomadaire soit égal à 400 euros.
2. Déterminer àl’aide du graphique pour quels volumes hebdomadaires produits, lelaboratoire est bénéficiaire.
Partie B. Étude dubénéfice hebdomadaire
On admet que B est la fonction définie pour tout nombre réel x del’intervalle [0 ; 18] par :
B(x) = −x3 +6x2 +180x −184.
On notera B′ la fonction dérivée de la fonction B.
1. a. Déterminerpour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 18], l’expression de B′(x).
B'(x) = -3x2+12x+180.
b. Vérifier que,pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 18], B′(x) = (−3x +30)(x+6).
B'(x) = -3x2 -18x +30x +180 = -3x2 +12x +180.
c.Étudier le signe de B′(x) pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ;18].
d. En déduire letableau de variations de la fonction B sur l’intervalle [0 ; 18].
2. Déterminer levolume hebdomadaire à produire pour obtenir un bénéfice maximal. 10 L.
Quel est le montant, en euros, du bénéfice hebdomadaire maximal ? 1216 €.
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| Métropole. Pourtraiter un patient, un médecin procède à l’injection intramusculaired’une dose d’une substance médicamenteuse au temps t = 0 (t est expriméen heures). Le produit actif se diffuse dans le sang puis estprogressivement éliminé. Le médicament est efficace lorsque la concentration du produit actifdans le sang est supérieur ou égale à 25 mg.L−1 (25milligrammes par litre). La concentration maximale du produit actif dans le sang ne peut pasdépasser 40 mg.L−1 pour éviter les effets secondaires. Partie A : Étudegraphique La courbe donnée représente la concentration en mg.L−1du produit actif dans le sang du malade en fonction du temps écoulédepuis l’injection du médicament. À l’aide de cette courbe répondre,avec la précision que permet le graphique, aux questions suivantes enfaisant apparaître les traits de constructions utiles. 1. Déterminer laconcentration en mg.L−1 du produit actif pout t = 5. 5 mg L-1. 2. Le médecina-t-il respecté la dose à ne pas dépasser ? Expliquer. Oui, car le maximum de la courbe est inférieur à 40 mg / L. 3. Déterminer lestemps en heures et minutes pour lesquelles la quantité de produit actifest de 15 mg.L−1. 4. Quelle est ladurée pendant laquelle le médicament est resté efficace ? 5. Au bout dequelle durée le médicament est-il complètement éliminé ? 6 heures.  Partie B : Étudenumérique On admet que la concentration, exprimée en mg.L−1, duproduit actif dans le sang dumalade est donnée en fonction du temps t ,exprimé en heures, par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 6]par : f (t )= t 3−12t 2 +36t . 1. Reproduire etcompléter le tableau de valeur numérique.
f '(t) = 3t2-24t+36. b. Démontrer que,pour tout nombre réel t de l’intervalle [0 ; 6], on a : f ′(t ) = (t−6)(3t −6). (t −6)(3t −6) =3t2-18t -6t+36 = 3t2-24t+36 = f'(t). c. Résoudrel’équation f ′(t ) = 0 sur l’intervalle [0 ; 6]. t-6 = 0 soit t = 6 ; 3t-6 = 0soit t = 2. 3. a. Étudier lesigne de f ′(t ) sur l’intervalle [0 ; 6]. b. Construire letableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 6].Partie B En France, à la fin de l’année 2005, on comptait 940 éoliennes. Depuis,chaque année, 500 éoliennes supplémentaires ont été installées. On note, pour toutentier naturel n, un le nombre d’éoliennes présentes en France à la fin de l’année(2005+n). On a donc u0 = 940. 1. Déterminer la nature de la suite (un). On précisera sa raison. 2. Exprimer un en fonction de n. 3. Combien d’éoliennes y aura-t-il en France à la fin de l’année 2013 ? En déduire la concentration maximale du produit actif dans le sang dumalade.  | |||||||||||||||||
| Polynésie septembre. On étudie l’évolution, en fonction du temps,d’une population de levures présentes dans un milieu liquide. Partie A. Entre 0 et 300 minutes, on admet que le nombre N de levures del’échantillon en fonction du temps t (en minutes) est donné par : N(t )= 150×1,01t . 1. Calculer lenombre de levures à l’instant initial. N(t=0) = 150 x1,010 = 150. 2. Donner, en lejustifiant, le sens de variation de la fonction f définie surl’intervalle [0 ; 300] par f (t ) = 1,01t . Si a >1, la fonction at est strictement croissante surR. f (t ) = 1,01t eststrictement croissante sur [0 ; 300 ]. On admet que la fonction N ales mêmes variations sur l’intervalle [0 ; 300] que la fonction f . 3. Recopier etcompléter le tableau de valeurs suivant. (Arrondir les résultats àl’unité)
4. Dans un repèreorthogonal, représenter graphiquement la fonction N sur l’intervalle [0; 100]. 5. Déterminergraphiquement au bout de combien de temps le nombre de levures est égalà 350.  6. Déterminer, parle calcul, au bout de combien de temps le nombre de levures devientsupérieur à 1000. On arrondira le résultat à la minute. 1000 = 150 x1,01t ; 1000 / 150 = 1,01t ; log(1000/ 150) = t log (1,01 ) ; t = log(1000/ 150) / log (1,01 ) ~191 min. Partie B. Au bout de 300 minutes le nombre de levures est stationnaire pendant 30minutes, puis il peut être modélisé par la fonction g définie surl’intervalle [330 ; 480] par g (t )= 0,0056t 2 −6,1517t +4389, t étant exprimé en minutes. 1. Calculer g ′(t), où g ′ désigne la fonction dérivée de la fonction g . g'(t) = 2 x0,0056t -6,1517 = 0,0112t-6,1517. 2. Étudier le signede g ′(t ) et en déduire le tableau de variation de la fonction g. g'(t)=0 si t = 6,1517 / 0,0112 ~549. g'(t) < 0 si t <549 ; g'(t) >0 si t >549.  3. Comment évoluele nombre de levures sur l’intervalle [330 ; 480] ? Le nombre de levures est strictement décroissant sur [330 ; 480]. Quel est le nombre de levures au bout de 8 heures ? On arrondira lerésultat à l’unité. 8 h = 8 x60 = 480 min ; N = 2726. Métropole septembre. log (0,7) et log (0,04) sont négatifs. x > log (0,04) / log (0,7).Antilles septembre. En médecine, le tauxd’hématocrite est le rapport du volume des globules rouges circulantdans le sang sur le volume total de sang. Chez l’homme, la valeur estnormale si ce taux est compris entre 0,4 et 0,52. 1. Un patientarrive en urgence à l’hôpital et on mesure son taux d’hématocrite quivaut 0,36. Pour augmenter ce taux, on lui injecte un médicament. On contrôlerégulièrement son taux d’hématocrite pendant les huit premières heures.On définit sur l’intervalle [0 ; 8] la fonction f , qui à t , la durée écoulée enheures depuis la prise du médicament, associe le taux d’hématocrite dupatient. La fonction f est représentée.  En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes : a. Quelle durée sesera écoulée depuis la prise du médicament pour avoir un tauxd’hématocrite maximal ? Quel est alors ce taux ? Au bout de 4 heures le tauxest maximum et vaut 0,44. b. Pour quellesvaleurs de t dans l’intervalle [0 ; 8], le taux d’hématocrite dupatient est-il normal ? [1 ; 6,5 ]. 2. Huit heuresaprès l’injection du médicament, constatant que le taux d’hématocriteest à nouveau anormal, on injecte un autre médicament. Le taux d’hématocrite est alors donné par g (t ) où g est la fonction définiesur l’intervalle [8 ; 20] par g (t )= −0,003t 2 +0,09t−0,17, t représentant la durée écoulée depuis l’injection du premiermédicament. a. Déterminer g ′(t), où g ′ est la fonction dérivée de la fonction g. g'(t) = -2 x0,003 t +0,09 = -0,006 t +0,09. b. Étudier le signede g ′(t ) sur [8 ; 20] et dresser le tableau de variation de lafonction g sur [8 ; 20]. g'(t) = 0 pour t = 0,009 / 0,006 = 15. g'(t) est négative pour t compris entre ]15 ; 20 ] et positive pour tcompris entre [8 ; 15[.  c. Compléter letableau des valeurs g (t ) . (on arrondira les valeurs à 10−2près.)
e. Combien de tempsaprès la prise de ce second médicament le taux d’hématocrite du patientest-il redevenu normal ? 1 heure. Nlle calédonie. log (0,1) et log (0,88) sont négatifs ; t > log (0,1) / log (0,88) ;t > 18. |
